| YE YANQIAN,LUO DINGJUNG.[J].数学年刊A辑,1980,1(3-4):335~348 |
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| QUALITATIVE INVESTIGATION OF A TORALDIFFERENTIAL EQUATION HAVINGCRITICAL POINTS |
| Received:January 09, 1980 |
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| 关于环面上无奇点的动力体系的研究.自从Н.Poincare的开创性工作以后，较早
的研究工作已见于Coddington与Levinson的书中.近期则有秦元勋的工作，他已研究
了具体的微分方程，但仍保持无奇点的假设.近年来国内外又出现了不少研究一般二维
流形上动力体系的拓扑结构或分类的文章，其中考虑了奇点，但却没有具体的微分方程.
本文类比于平面线性定常系统，研究了环面上的微分方程
\[\frac{{dx}}{{dt}} = A\sin {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x + B\sin {\kern 1pt} {\kern 1pt} y,\frac{{dy}}{{dt}} = C\sin {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x + D\sin {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} y(AD - BC \ne 0)\](1)
的轨线的全局结构.
在§ 1中假设⑴定义在(x,y)平面上的正方形[{S_1}:0 \le x \le 2\pi ,0 \le y \le 2\pi \]内，然后把
S1的两对对边等同起来，从而得到环面上的解析系统.它有两个初等的非鞍点和两个初
等鞍点,经过分析，得到中心-鞍点，结点-鞍点和焦点-鞍点等三种可能拓扑结构，在最后
一种情况有时能出现极限环，但唯一性未能证明.此外，环面上不存在第二类周期轨线.
在§2中假设⑴定义在正方形\[{S_1}:0 \le x \le 2\pi ,0 \le y \le 2\pi \]内，再把S2的两对对边等同
起来，从而得到环面上的C1系统.此系统只有一个指标为零的奇点，但它的轨线拓扑结
构的可能情况要比§1多一些.环面可以被具有相同旋转数的一族闭轨线所充满，也可
以被一族各态历经的轨线所充满.它可能具有唯一的半稳定极限环，或是一个稳定环和
一个不稳定环，一切其它轨线都从正负向趋向它们.环面还可能被分成一个，两个或三个
单连通域，每一域中充满着具有相同旋转数的奇闭轨线.最后，环面上也可能既存在极限
环，又存在为奇闭轨线所充满的区域.此外，我们还固定(1)式右边的三个系数A,B，
而让C从零变到一∞,以观察方程的全局结构和轨线的旋转数的变化. |
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