| Li YISHEN.[J].数学年刊A辑,1981,2(2):147~156 |
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| ONE SPECIAL INVERSE PROBLEM OF THESECOND ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONON THE WHOLE REAL AXIS |
| Received:January 21, 1980 |
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| 为了解轴对称的KDV方程要考虑以下问题
\[\begin{gathered}
- {\varphi ^{''}}(x,\lambda ) + Q(x)\varphi (x,\lambda ) = \lambda \varphi (x,\lambda )( - \infty < x < \infty ) \hfill \ Q(x) = x + q(x) \hfill \\
\end{gathered} \]
BNOX[2]曾考虑以上二端奇型反问题，他指出函数Q(X)以一可由2\[ \times \]2的谱矩阵来确定. 本文指出当Q(x)=x+q(x)，而q(x)满足以下条件时
\[q(x) \in {C^1}( - \infty ,\infty ),\int_{ - \infty }^\infty {|{s^i}} q(s)|ds < \infty ,i = 0,1,\]
则函数q(x)可由—个谱函数来确定，在\[\zeta 1\]我们引进黎曼函数证明了函数\[{\varphi _0}(x,\lambda )\]和 \[\varphi (x,\lambda )\]间变换的存在性，其中\[{\varphi _0}(x,\lambda ) = - \sqrt \pi Ai(x - \lambda )\] 是方程(0，1)当Q（x)=x时的
解，\[\varphi (x,\lambda )\]是方程(0.1)当Q(x)=x+q(x)时的解，在\[\zeta 2\]中，根据Titchmarsh-Kodaira理论给出对一个谱函数的完备性.最后推导出类似于Gel'fand-Levitan方程. |
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